海文考研
咨询热线:400-060-9896
太原海文考研培训小编整理了高数必考定理之函数与极限,供2024考研的同学参考,帮助考生在备考的初期阶段整理总结此部分的内容。

当前位置:   考研资讯 > 考研数学 > 2024太原考研数学:高数必考定理(二)

2024太原考研数学:高数必考定理(二)

2024太原考研数学:高数必考定理(二)来源: 海文考研

2024-05-07

浏览量:304

关键字:考研数学

返回

太原海文考研培训小编整理了高数必考定理之函数与极限,供2024考研的同学参考,帮助考生在备考的初期阶段整理总结此部分的内容。


考研数学



1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界,K1为下界;如果有f(x)≤K2,则有上界,K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。


2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。


定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界。


如果数列{xn}无界,那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界,却不能断定数列{xn}一定收敛,例如数列1,-1,1,-1,(-1)n+1…该数列有界但是发散,所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。


定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限,那么数列{xn}是发散的,如数列1,-1,1,-1,(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1,{xnk}收敛于-1,{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。


3、函数的极限函数极限的定义中


定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A,而且A>0(或A0(或f(x)>0),反之也成立。


函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等,即f(x0-0)=f(x0+0),若不相等则limf(x)不存在。


一般的说,如果lim(x→∞)f(x)=c,则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞,则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。


4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;定理如果F1(x)≥F2(x),而limF1(x)=a,limF2(x)=b,那么a≥b.


5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件:yn≤xn≤zn且limyn=a,limzn=a,那么limxn=a,对于函数该准则也成立。


单调有界数列必有极限。


6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义,如果函数f(x)当x→x0时的极限存在,且等于它在点x0处的函数值f(x0),即lim(x→x0)f(x)=f(x0),那么就称函数f(x)在点x0处连续。


不连续情形:1、在点x=x0没有定义;2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在;3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在,但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。


如果x0是函数f(x)的间断点,但左极限及右极限都存在,则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点,不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。


定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。


定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续,那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续的。


定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点,那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。


定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,即m≤f(x)≤M.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号(即f(a)×f(b)


推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。


以上内容供大家参考,如果同学们想了解更多相关知识,欢迎点击网站右下角在线客服,会有海文考研在线的咨询老师为大家讲解。


上一篇:2024太原考研高等数学一考点(一元函数微分学)
下一篇: 暂无

关注一下

PAY ATTENTION

考研资讯
备考资料
考研政策
查看更多>>
2024太原考研数学:高数必考定理(二)
免费课程推荐
海文考研在线   总部地址:太原市小店区学府街坞城路口东北角锦馨文苑8楼
海文考研在线   咨询热线:400-060-9896
       版权所有 太原万学培训学校 晋ICP备19001399号
海文考研在线  电话:400-060-9896
海文考研在线 海文考研在线
李老师: 623175393

QQ

微信

客服

TOP